【摘要】本文针对一类非均匀采样数据Hammerstein非线性系统，提出一种随机梯度算法。该算法首先基于提升技术，推导出系统的状态空间模型，通过重新参数化，将系统模型转化待辨识模型，并利用平均法分离出系统参数。仿真实例验证了所提算法的有效性。

　　【关键词】参数估计；随机梯度；Hammerstein系统；过参数化

　　1.引言

　　在工业过程中，为了保证产品的质量和生产操作的连续平稳，需要对与品质密切相关的过程变量进行实时监视和控制。然而在实际过程中存在一大类变量无法或难以在线直接检测，如化学反应器中反应物浓度、分馏塔产品组分浓度、产品分布等。为了解决此类变量的测量，众多学者与专家提出利用软测量技术对其估计与控制[1-3]。在软测量建模中，模型的准确性与精度决定软测量模型对变量估计的成败。数据驱动模型是利用输入输出数据所提供的信息来建立过程的数学模型，这种建模方法又称为“辨识”，由于不需要知道过程的机理知识，只利用历史数据就可达到满意的辨识效果，已经吸引众多学者关注，且广泛应用于生产实际中。非均匀采样系统普遍存在于现实工业生产中[4]，当系统的输入通道或输出通道的采样呈现不等时间间隔时就得到非均匀采样数据系统[5，6]。针对输入非均匀周期刷新和输出周期采样的非均匀采样数据系统，文献[7]利用递归最小二乘算法及递归广义最小二乘算法对非均匀采样BOX JENKINS系统进行参数估计，文献[8]利用递阶辨识原理将高维参数向量的模型分为一组低维参数向量的子模型，利用最小二乘算法分别辨识。文献[9]针对一类非均匀采样多虑系统基于辅助模型方法提出一种最小二乘算法对参数进行估计。最小二乘算法虽然原理简单，收敛速度快，但是由于要求逆矩阵，因此计算量很大，且上述算法都是针对非均匀采样方式下线性系统的辨识。

　　为此，本文进一步考虑实际生产中的非线性特性，借助梯度搜索原理，推导出辨识非均匀采样数据Hammerstein非线性系统的辨识算法，不仅计算量小，而且适于在线辨识。

　　2.问题描述

　　Hammerstein模型由一非线性增益后接一线性子系统组成，结构如图1所示。

　　图1 非均匀采样数据Hammerstein非线性系统结构图

　　系统离散采样输入数据u（kT+ti）经非线性模块后输出信号，连续时间过程模块Pc的输入由离散时间输入序列经非均匀零阶保持器产生，当无噪声干扰时，Pc输出y（t）经周期为T2的采样器ST2得到可测输出序y（kT+T）。

　　非线性模块可表示为已知基的多项式形式，即：

　　（1）

　　其中为已知基函数，系数未知。

　　在周期[kT，kT+T]上，非均匀零阶保持器控制输入非均匀刷新m次，即控制系统输入信号u非均匀刷新m次，时间间隔为，若设，为简单起见，设t0=0，则输入刷新时刻点为t=kT+ti，系统框架周期为，经提升技术处理后的特性为：

　　（2）

　　若图1中的连续时间过程模块Pc的状态空间模型为：

　　（3）

　　式中为状态向量，为系统输出，为系统输入，为系统状态空间模型的参数矩阵。非均匀刷新的输入数据为，周期采样的输出数据为y（kT），与关系如式。利用文献[10，11]方法，以周期T离散化系统，并引入白噪声，得：

　　（4）

　　其中z-1为单位后移因子，即，

　　（5）

　　则非均匀采样数据Hammerstein非线性系统线性部分参数向量a，b及非线性部分参数向量c分别为：

　　（6）

　　其中：

　　（7）

　　则系统参数向量：

　　3.随机梯度算法

　　定义模型的信息向量及参数向量分别为：

　　（8）

　　其中：

　　（9）

　　（10）

　　（11）

　　（12）

　　则式可写为：

　　（13）

　　定义准则函数为：

　　由于式中的信息向量所含变量都是可测的，根据随机梯度搜索原理，最小化准则函数，可得辨识非均匀采样数据Hammerstein非线性系统CAR模型参数的随机梯度算法（Stochastic Gradient algorithm，SG）算法：

　　（14）

　　（15）

　　（16）

　　（17）

　　（18）

　　（19）

　　所提算法辨识出模型的参数并不是系统参数，因此需要从所提算法辨识出的模型参数中分离出系统参数。从参数的构成中我们可以看出对任意的非零系数，和总能产生相同的输入输出结果，也就是说，任何辨识算法都不能区分和的不同，为保证参数辨识的唯一性，必须固定cj或bi中一个参数，为此提出一些解决方法[12-14]，在本文中做如下假设。

　　假设1：第一个系数为1[15]，即c1=1。

　　基于假设1，参数向量的估计值分别为模型参数中、、，个向量元素。而非线性模块的静态参数在向量cjbi中由于被反复估计nb次，为了提高估计精度，本文采用文献[16，17]中的平均法从乘积项中分离出非线性系统参数ci，即：

　　至此，辨识出系统参数向量。

　　4.结论

　　本文针对非均匀采样数据Hammerstein非线性系统，提出一种基于过参数化的随机梯度算法，所提算法能够有效实现对非均匀非线性系统的辨识。该算法可结合其他参数辨识方法，用于Wiener系统、Hammerstein-Wiener系统及Wiener-Hammerstein系统的参数估计、状态识别及故障诊断中。

　　参考文献 　　[1]Brosillow CB.Inferential Control of Process[J].Journal of American Institute of Chemical Engineers.1978，24（3）：485-509.

　　[2]Dong D，Thomas J McAvoy.Emission Monitoring Using Multivariate SoftSensors[J].Proceedings of the American Control Conference Seattle.1995，35（2）：761-765.

　　[3]Wang D，R Srinivasan，J Liu，P N S Guru，K M Leong.Data-driven Soft Sensor Approach For  Quality  Prediction  in  a  Refinery  Process[J].IEEE，International  Conference  on Industrial Informatics，2006：230-235.

　　[4]Raghavan H，Tangirala A K，Gopaluni R B，Shah S L.Identification of chemical process with irregular output sampling[J].Control Engineering Practice，2006，14（5）：467-480.

　　[5]Albertos P，Crespo A.Real-time control of non-uniformly sampled systems[J].Control Engineering Practice，1999，7（4）：445-458.

　　[6]Cuenca A，Salt J.RST controller design for a non-uniform multi-rate control system [J].Journal of Process Control，2012，22（10）：1865-1877.

　　[7]Xie L，Yang HZ，Feng Ding，Recursive least squares parameter estimation for non-uniformly sampled systems based on the data filtering，Mathematical and Computer Modelling，54（1-2）（2011）：315-324.

　　作者简介：郑恩兴，男，天津人，大学本科，湖北工业大学工程硕士研究生在读，常州刘国钧高等职业学校讲师，从事控制理论与控制工程方面的研究。